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虚数の情緒を読んで
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2021.3.5金曜日
兄から強く勧められた「虚数の情緒」（吉田武著、東海大学出版部）を読み始めた。
中学生時代に戻って読んでいる。面白い。
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目 次
ネイピア数eの計算
虚数の計算
円周率の計算
三角関数の計算
ネイピア数eの計算
目次へ
527ページに書かれていること：
指数関数y=10^xについて、
グラフ上の点（0,1）における接線の傾きKが、
およそ K=2.3026
で与えられることがわかった。
正確に言うと、
X=0から1/65536だけ進んだ時の垂直方向への増加分hが、
h=0.00003513527
で、両者の比h/xが
K=2.30263505472
になる。
ということで、ここからがわからないところだが、
10^(1/K)=10^(1/2.3026)
が、特別の数（ネイピア数）になるという。
確かに、10^(1/2.3026)=2.71826423 ・・・・ ネイピア数eに似てる
そこで、導関数の基礎を思い出して計算してみた。
y=10^x
導関数をy'として、
y'=(10^(x+h)-10^x)/h
=(10^x*10^h-10^x)/h
=10^x(10^h-1))/h
x=0のとき
y'=(10^h-1))/h
h y'
0.1...............2.589254118
0.01.............2.329299227
0.001...........2.30523807
0.0001.........2.3028501
0.00001.......2.302611
10^(1/2.302611)=2.718251245
なるほど！
y=2^x ならばどうか
y'=(2^(x+h)-2^x)/h
x=0のとき
y'=(2^h-1))/h
h y'
0.1..............0.7177346
0.01............0.695555004
0.001..........0.69338745
0.0001........0.6931711
0.00001......0.693148
2^(1/0.693148)=2.718278615
y=1.1^x ならばどうか
y'=(1.1^(x+h)-1.1^x)/h
x=0のとき
y'=(1.1^h-1))/h
h y'
0.1..............0.0957658271
0.01............0.095355613
0.001..........0.09531471
0.0001........0.09531
0.00001......0.09531
1.1^(1/0.09531)=2.718286957
ということは、
y=a^x において、
x=0 のとき、
e=a^(1/y')
y=1^x ならばどうか
y'=(1^(x+h)-1^x)/h
x=0のとき
y'=(1^h-1))/h
h y'
0.1..............0
0.01............0
0.001..........0
0.0001........0
0.00001......0
1^(1/0)=error
なるほど！
では、マイナス値は、
y=(-2)^x ならばどうか
y'=((-2)^(x+h)-(-2)^x)/h
x=0のとき
y'=((-2)^h-1))/h
h y'
0.1..............error
なるほど、 a>1 が条件だな。
まとめると、
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指数関数y=a^xの導関数y'について、
x=0のとき、
e=a^(1/y')
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e=a^(1/y')の両辺を自然対数（eを底）にして、
loge=loga^(1/y')
loge=1
loga^(1/y')=1/y'loga
となって、
1=1/y'loga
y'=loga・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・①
a=1.1のとき、
logaはどういう値になるだろうか。
対数関数の計算サイトを使うと、
引用：https://keisan.casio.jp/exec/system/1260332465
対数関数の計算
変数欄に 1.1 を入れて、
log1.1=0.095310179804325
1.1^(1/0.095310179804325)=2.718281829
eの値に近づいている！
e=2.71828182846...
指数関数の微分公式を見ると、
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任意のa>0に対して、
y=a^x の導関数は、
y'=a^xloga
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x=0 のとき、
y'=a^xloga=a^0loga=loga
y'=loga・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・②
①に等しい、ＯＫ。
虚数の計算
目次へ
eの勉強はこのくらいにして、いよいよ虚数のページを読んでいこう。
2021.3.6土曜日
さて今日は虚数の計算。
562ページを読んで、EXCELで計算してみた。
＜目標＞
e^ix=i のときのxの値を求める。
＜前提＞
x<<1のとき、e^xの次の近似式が成り立つ。p.541,p560
e^x:=1+x+1/2x^2
x=ixのとき：
e^ix:=1-1/2x^2+ix
＜第1段階＞
x=1/1024
e^(i/1024)=0.99999952316+i0.00097656250
e^(i/1024)からe^iまで、
e^(i/1024)^2=e^(i/512)というように順次2乗して実部と虚部を計算し、
最後にe^iを求めると、
e^(i/1)=e^i=0.54030217061+i0.84147106834
＜第2段階＞
e^iの実部0.54030217061と虚部0.00097656250について、
実部の2乗+虚部の2乗は、
0.54030217061^2+0.84147106834^2=0.9999998031:=1
ということは、
絶対値が1（a^2+b^2=1）である虚数a+ibに対して、
これに掛ければ i となる虚数x+iyは、
(a+ib)(x+iy)=i
x+iy=i/(a+ib)=i(a-ib)/((a+ib)(a-ib))=i(a-ib)/(a^2+b^2)=i(a-ib)/1=b+ia
x+iy=b+ia
そこで、
a+ib=b+aiであることを利用して、
e^iの実部と虚部を交換し、
e^iの実部が0に、虚部が1に近づくまで近似計算を行う。
e^i=0.54030217061+i0.84147106834
実部と虚部を交換して、
0.84147106834+i0.54030217061
これに近いのは、e^(i/2)
これらを掛け算すると、iの近似値となるから、
e^i*e^(i/2)=0.07073696355+i.99749499929
以下同様に計算してゆくと、
e^i*e^(i/2)*e^(i/16)*e^(i/128)=0.00048357718+i0.99999987869
実部が0に近づき、虚部が1に近づいてくる。
e^(i/128)の次の計算は、
e^(i/?)=0.99999987869+i0.00048357718
e^i*e^(i/2)*e^(i/16)*e^(i/128)*e^(i/?)=0.00000000000+i0.99999999123:=i1
となって、実部が限りなく0に近づき、虚部が限りなく1に近づく。
つまり、
e^i*e^(i/2)*e^(i/16)*e^(i/128)*e^(i/?):=i1
e^i(1+1/2+1/16+1/128+1/?):=i1
ということは、
e^ix=i になるのは、
x=1+1/2+1/16+1/128+1/? のとき。
そこで、
1+1/2+1/16+1/128+1/?の値は、
1.57079607712
すなわち、π/2=1.57079632680に近づく。
＜結果＞
e^(i*π/2)=i
両辺を2乗して、
e^iπ=i^2=-1
これで、先に進める。
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円周率の計算
目次へ
さて、403ページに従って円周率を計算すると、
半径1の単位円と、正(6*2^n)角形の関係は、三平方の定理により、
円の中心から弦a_nと交わる点までの長さをx 、その点から半径1までの長さをyとして(x+y=1)、
1^2=(a_n/2)^2+x^2・・・・・・・・・・①
a_(n+1)^2=(a_n/2)^2+y^2・・・・②
②-①
a_(n+1)^2=1-x^2+y^2
y=1-xを代入すると、
a_(n+1)^2=1-x^2+(1-x)^2=2-2x
・・・・③
①より、
x=√(1-(a_n/2)^2)=√(1-a_n^2/4)
これを③に代入して、
a_(n+1)^2=2-2x=2-2√(1-a_n^2/4)=2-√(4-4(a_n^2/4))=2-√(4-a_n^2)
従って、
a_(n+1)=√(2-√(4-a_n^2))
しかし、この計算式で計算してゆくと、
n=49152から桁落ちが発生した。
そこで、405ページに従い、
分母分子に同じ√(2+√(4-a_n^2))を掛けると、
a_(n+1)=√(2-√(4-a_n^2))*√(2+√(4-a_n^2))/√(2+√(4-a_n^2))
=√(2^2-(4-a_n^2))/√(2+√(4-a_n^2))
=√(a_n^2)/√(2+√(4-a_n^2))
=a_n/√(2+√(4-a_n^2))
これで計算すると、
n=1572864まで桁落ちしない。
＜結果＞
今日はここまで。
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三角関数の計算
目次へ
582ページに進む。
複素数平面上の単位円について。
絶対値が1である複素数をZで表すと、
Z=A+iB, |Z|=√(A^2+B^2)=1
実部と虚部を直角三角形の底辺と対辺とみなすと、斜辺は原点とZを結ぶ直線となる。
この直線と実軸（底辺）がつくる角をθで表すと、
sinθ=B/1=B
cosθ=A/1=A
したがって、
Z=A;+iB=cosθ+isinB
さて、そこで先ほど計算した虚数のEXCELに戻って、
実部のcosと、虚部のsinをラジアンとして計算してみると、
見事に小数点以下6桁乃至5桁まで一致している。
つまり、
e^iθ=cosθ+isinθ
今日はここまで。
2021.3.12金曜日
xをラジアンで表すと、e^ix=cosx+isinxであることがわかった。
では、その証明は？
テイラー展開を昔勉強したことがある。
引用：https://manabitimes.jp/math/1001
関数値=関数のある一点での導関数から計算される値の無限和
テイラーの定理：
f(x)がa<=x<=bにおいて、
n回微分可能なとき、
f(b) =Σ_(k=0,n-1)f'k(a)(b-a)^k/k! + f'n(c)(b-a)^n/n!
を満たすc(a < c < b)が存在する。
平均値の定理の一般化であるという。
平均値の定理：
区間[a,b]で連続、(a,b)で微分可能な関数f(x)に対して、
(f(b)-f(a))/(b-a) = f'(c)
を満たすcが、区間[a,b]に存在する。
f(b) = f'(c)(b-a) + f(a)
f(b)
n=1のとき
f(b)=f(a)+f'(c)(b-a)
n=2のとき
f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+f''(c)(b-a)^2/2!
はじめに