円周率の勉強
pi=3.141592653 //円周率
早速、やってみよう。
まず、正方形。
（平方根はsqrt()、二乗は ^で表す）
半径1の円に内接した正方形の１辺aは、
a=sqrt(2)
正方形の全周s=4*a
半周分が円の直径が1の場合の円周、つまり円周率の近似値になるから、
正方形で近似した円周率p4は、
p4=2*a=2*sqrt(2)=2.8284...
次に、正八角形。
正方形の1辺を2等分し、
正八角形の1辺bを斜辺とする直角三角形について、
b^2=(a/2)^2+(1-sqrt(1/2))=2*(1-sqrt(1/2))
p8=4*b=3.061467...
次に、正16角形。
正八角形の1辺bを2等分し、
正16角形の1辺cを斜辺とする直角三角形について、
c^2=(b/2)^2+(1-sqrt(1/2*(1-sqrt(1/2)))=2*(1-sqrt(1/2*(1+sqrt(1/2))))
p16=8*c=3.121445...
以下同様に、
正32角形：
d^2=2*(1-sqrt(1/2*(1+sqrt(1/2*(1+sqrt(1/2))))))
p32=16*d=3.13654849...
正64角形：
e^2=2*(1-sqrt(1/2*(1+sqrt(1/2*(1+sqrt(1/2*(1+sqrt(1/2))))))))
p64=32*e=3.14033156...
正128角形：
f^2=2*(1-sqrt(1/2*(1+sqrt(1/2*(1+sqrt(1/2*(1+sqrt(1/2*(1+sqrt(1/2))))))))))
p128=64*f=3.14127725...
では、そろそろ実際に計算してみよう。
まず、正16角形。
3.121445...となった。
では、正128角形。
3.14127725...となった。
では、正4096角形。
3.1415923456...となった。
pi=3.141592653 //円周率
にかなり接近したが、これでやっと7桁。
賢弘という人は、最初、1か月で21桁まで計算したそうだから、気が遠くなる。
彼はその後、関孝和に円周率の公式を求めろと諭されて、孝和の没後、日本で最初の公式を求めたという。
オイラーの公式と同じものらしい。敬服する。
pi^2=9*(1+1/(3*4)+(1*2^2)/(3*4*5*6)+(1*2^2*3^2)/(3*4*5*6*7*8)+...)
それじゃ、これで計算してみよう。
3.141030313...となった。
も少し算式をふやして計算してみよう。
3.14158825...となった。5桁計算できてる。
それなら、正32768角形を計算してみよう。
3.141592654...となって、pi=3.141592653 //円周率に9桁まで追いついた。
それじゃ今度は、正65392角形を計算してみようか。
3.1346...となって計算誤差がでてきた。計算ルーチンの限界を超えたようだ。
すこし工夫して正65392角形を計算してみよう。
9.191785332873792e-9となる。これをあらためてsqrtしてみる。
同じ結果。有効桁数を超えたためだった。残念。
最後に、賢弘の公式の項をもう六つ追加して計算してみよう。
3.141592653...となって、pi=3.141592653589793 //円周率に10桁まで追いついた。賢弘さん、すごい！
調べたら、1735年オイラーのゼータ関数というのがあった。
pi^2=6*(1/1+1/(2*2)+1/(3*3)+1/(4*4)+...)
これで計算してみよう。
3.10...となっている。収束が遅い。
閑話休題
ぼくが理解できるのは、おなじことを考え着いたときだけのようだ。
言葉を理解できるのも、おなじことを発音できたときだけのようだ。
日本語の歌は、歌えるので聴いてわかる。
耳慣れない歌や、外国語の歌は、発音できないから聴いてもわからない。
回路がすべて。
ぼくには限られた回路しかないし、新しい回路をつくるスピードが遅い。
いまあるものを大事に使おう。